曹則賢：經典力學：與數學創造同行（上） | 中國科學院2025跨年科學演講

2024年12月31日，由中國科學院學部工作局、上海市科學技術委員會、上海廣播電視臺主辦，中國科學院物理研究所、中國科學院計算機網絡信息中心、中國科學院上海分院、新浪集團承辦，微博、新浪新聞、國家開放大學出版傳媒集團協辦的“復興路上的科學力量——中國科學院2025跨年科學演講”面向全網播出。

當晚，中國科學院物理研究所曹則賢研究員開講《經典力學：與數學創造同行》。現將演講全文內容整理如下，個別字詞稍有改動。由於微信字數限制，全文將分爲上下兩部分推送，本文爲上篇，包含開篇詞、萌芽態的力學、圓錐曲線、牛頓運動定律與萬有引力、物理量與運動的描述五部分內容。下篇詳見今日的第二條推送，包含“坡”問題、虛功原理、達朗伯原理、高斯的最小約束原理、轉動座標系/剛體、莫珀替原理、拉格朗日力學、勒讓德變換、哈密頓力學、哈密頓-雅可比理論、經典力學更多話題、結束語十一部分內容。

演講的幻燈片文件可在中科院物理所微信公衆號後臺回覆“2025跨年演講”獲取。

文章轉載自“中科院物理所”微信公衆號

開篇詞

現場尊敬的嘉賓，遠方屏幕前的朋友，大家晚上好！歡迎關注 2025 跨年科學演講，我是演講人曹則賢，來自中國科學院物理研究所。

今天我要聊的話題叫“ 經典力學：與數學創造同行”，也叫“ 經典力學：原理髮現之旅”，待會我會講爲什麼會有這樣兩個題目。

本次演講的原文件有 296 頁 PPT，我肯定講不完，之後中國科學院物理研究所會將 PPT 連同今天我的發言稿，統一整理起來向社會公佈。各地的大學生、中學生，尤其是老師朋友們， 如果發現 PPT 有可取之處，請隨意採用。

我說我們這個 PPT 是希望能夠做到拋磚引玉，我的朋友說這是 拋磚引“菜”！能引出菜也行。藉助這樣一個演講活動，我特別想傳達一個事實—— 學物理、研究物理、教物理，我們是認真的。

爲什麼我們幹這件事情？很久以前有一位 泊松男爵，他說過一句話： 生命之美好就在於兩件事，做數學和教數學。

後來我查了一下文獻，我猜他估計是說錯了，應該是 做 物理和教物理。

本人已經做過 5 年的跨年科學演講了，今年 第 6 年講經典力學。但是物理學博大精深，內容實在是太多了，所以如果還有機會，我們希望能夠進一步延續活動，接下來去講 數學物理、物理實驗、儀器物理、原子物理等，甚至是物理學家、後物理學 Metaphysics，我們沒有把它翻譯成“形而上學”，這個形而上學，過去我們是當做一個負面的哲學批判的，但其實它是非常有用的一門學問。

首先強調一點，很多人跟我講，現在可能已經習慣了我的演講 PPT 裡滿頁跑洋文，我想說一下，我們這樣做是想 強調知識的原始表達，提倡一種 正確的引用，免得引起誤解，最重要的也是爲了方便我們廣大的學習者和研究者去 獲取原始文獻。

說到這裡，我們就不得不說母語的問題，以及在世界各地興起的保護母語的運動。我特別想強調的事情是： 一門語言，如果它不能適應社會的發展，不能夠有效地去傳承文化，它的消亡可能是必然的 。

因此如果我們想要保護我們的母語，最重要的是，我們一定要去創造引領世界的文化，讓我們的母語成爲文化的載體。我就想說這一句： 你要是貢獻了文化，你就保護了母語 。

那麼對於物理學科，我先講講物理學科的一些特性。1934 年的時候，愛因斯坦把物理學分成了“ 原理性的理論”和“ 構造性的理論”。像 量子力學、電動力學大概都屬於 構造性的學問，像 熱力學 、相對論，這都是明顯的 原理性學問。

而我們的 經典力學作爲最原始的學問，它是在摸索中逐漸成長起來的。它是一門原理性學問，也是其他物理學問的基礎，因此它也就顯得更困難。

我特別想說一個在我們的社會流傳、我個人覺得好像不那麼正確的一種認識——覺得像量子力學、相對論、規範場論是比較高級的，其學問是難的，而經典力學好像是基礎的、簡單的。 這可能是誤解！經典力學是我們最原初的科學理論，在它的發展過程中，除了要去定義概念，定義物理量以外，還要同時自己去發展出它所需要的數學，以及慢慢地把自己提升到原理的層面， 因此經典力學纔是博大精深的！

我可以負責任地說， 如果大家能夠把經典力學學到非常精通的程度，你會發現構造量子力學、構造相對論是一個水到渠成的過程。

我們看看這幾個原理性的學問，你會發現如果你把握了它的原理，那麼都會特別好理解。比方說 熱力學，最重要的是 卡諾原理，用大白話說就是： 凡是不以做功爲目的的傳熱都是浪費；那像 規範場論呢？它有 規範原理，用大白話說就是： 一個物理理論的對稱性要有冗餘；那麼 相對論的原理就是 相對性原理，它說的是： 物理理論與參照框架無關，物理理論的表達與你所選用的座標系無關。

至於說到我們經典力學，你看和其他理論就不太一樣了，它的原理比較多，我撿三個重要的指出來，是 虛功原理、最小作用原理和達朗伯原理。那麼這樣的幾個原理，如果你要想用一句大白話把它總結的話，非常有趣——我們的道德經老祖宗給準備了現成的一句，叫“ 致虛極， 守靜篤”。

虛，而且還要到極致 。大家如果理解了我們的經典力學裡面最重要的虛功原理是怎麼個“虛”法，而且要求極值、做到極致。大家就明白了經典力學是怎麼構造的，也就是 致虛極、守靜篤。

我們看物理學的時候，不要把物理學分得那麼清楚，不要對具體的學問起分別心，因爲真正的學問它一定是什麼？ 是個統一的、有機的一個整體。在物理學裡面我們還是要看到“ 同一（Unit）”，或者說德語的 Einheitlichkeit，這個詞是非常重要的。

我們看一個視頻（視頻內容是一位演奏者將小提琴當做二胡進行演奏，編者按），請問大家這是什麼樂器？如果你認爲是小提琴，你就沒看到一。

（本頁 PPT 右邊視頻的內容是一位演奏者用一根琴絃演奏樂曲，編者按。）我想借此說一下 理解學問的層次：對於右邊這位先生彈的琴，第一個層次大概是聽到了琴聲，第二個層次是你看到了琴，第三個層次是你看到它是一根琴絃，再往上的層次你要看到“一”，當然層次再高，是什麼樣我就不知道了。

不要光聽到琴聲，也要看到音 。

對於物理學研究的特點，我沒想到會在一出河南的地方戲裡，找到了一個非常好的比喻。有這麼一出地方戲，叫 《 李天寶弔孝 》，是說一個青年男子，他的未婚妻因病去世了——很傷心的一件事，他去弔孝，到了門口就大哭一聲，一聲哭出來以後，突然發現有問題了—— 他不知道怎麼稱呼這個女孩子，要是他稱呼“姐”，人家女孩比他年輕，這不對；他要是稱呼“妹妹”，這也不對，因爲你其實是婚姻關係，這是個很重要的關係，所以你才能來弔孝的。然後他想，我要是尊重她，稱呼她爲妻子，這好像與事實也不符——人家沒過門。

所以說這就是非常尷尬的一個局面。對於這種尷尬局面，他最後就想到了一個原則： 就是從第一性原理出發！說，按照逝者爲大的原則，即尊敬，先喊“姐”表示尊敬，然後將其作爲妻子來哭，以表示對婚姻關係的認同。

那麼比較看我們物理研究的情景，大概就是這個樣子。

當我們面對一個物理情景的時候，我們要表示它，你要創造定義，創造概念，你還要發明一套記號，這套記號比較嚴謹，要遵循某些邏輯。而且其實這 不僅遵從邏輯，那裡面的不同對象之間還可能有一些微妙的關係，比方說我們學量子力學，都會說一對算符之間是個共軛關係，共軛關係 conjugation，也就是婚姻關係。它表示看似是個獨立的個體——放在社會裡它是獨立的個體，但是同時它們又有一種什麼對偶關係。

那麼面對物理情形的時候，我們物理學研究也說， 最後要遵循一個“第一性原理”。物理學的最高層次是要把它公理化，就是要講理講到極致 。

物理有一個特點，就是要 用到很多的數學。在我講電動力學的時候，我說了一句話： 因爲滿是數學，所以容易明白 。前兩天在國科大講課的時候，有一位女生上來跟我說：“曹老師我終於考上科學院的研究生了。我當年在考電動力學的時候非常發愁，就是聽了你的講座，聽到了這一句：因爲滿是數學，所以容易明白。然後我一下子感到釋然了，所以我經過努力學習，終於也考過了電動力學。我終於成爲了科學院的研究生。”

現在我們迴歸正題，我們說力學， m echanic 或 mechanics，我們漢語把它翻譯成 機械或者機械觀，或者有人把 mechanics 就翻譯成了 力學，我們社會也有“四大力學”的說法。

但是我們看看，當我們讀到這些詞概念， mechanics of heat、mechanics of electricity、mechanics of atom、theory of quanta，就發現 這裡面的 mechanics 都不能簡單地翻譯成力學，它不是力學。

那麼到底 mechanics 怎麼理解？後來我在大神 馬赫的一本書裡讀到了他的這麼一句： mechanical 這個詞和“唯象的”這個詞是作爲相對的 。也就是說，我們關於世界的理論有兩個層次，一個層次是唯象的——我們就事說事。那麼 mechanics 的意思就是說， 你要深入到下一層次，要追問它的道理 。

所以說當我們學習槓桿平衡的時候——大家都知道在我們中國的初中會學槓桿原理，但如果你在 學槓桿原理，你看到了虛功原理，並且把它提升到哈密頓-雅可比方程的層次呢？這個大概就算你學會了 mechanics，所以說 mechanics 是什麼意思？我覺得它大體上相當於我們漢語的 “ 道 ”。

所以說我就發現，我們中國人對於學問的要求是非常高的。我們平常說話的時候就會問， 你知道不知道？大家想一下這個要求是蠻高的，“你知道不知道”大概可以理解爲 “你到底懂不懂力學”。

那麼力學 mechanics 或者“道”到底是什麼？你會發現我們的《道德經》裡面有一句話叫“ 天之道”，天道是什麼？天道就是“ 損有餘而補不足”，損是什麼？損是 減號。

我們會看到經典力學最高的原理就是講一個“減”—— 動能和勢能之差，以及積分的變分爲 0 之類的。這個道理比較深，但是裡面有個關鍵的地方，那就是“ 損”，中間是個 負號！待會我會細講這裡面的道理在哪。

力學關注的還有一個重要的東西，實際上是叫 運動或者叫變化，那麼“ 易之道”和 mechanics 到底又是什麼關係呢？我們看孔老夫子在《易傳》裡面有這麼一句，“ 天行健，君子以自強不息；地勢坤，君子以厚德載物”，“君子以”被某些人理解爲“一個君子用什麼”，其實很難解釋通。我們來看看他到底說的什麼意思。

天行，行是 motion，健是指乾卦，君子以自強不息。自強和不息，兩個是並排的，他的意思是說，乾卦的天所運行的特徵，或者說支配它的道理。君子以， “君”是動詞，支配它的道理是什麼？支配它的道理是 自強不息，這大概正好是我們 動能的特徵。地勢坤，君子以厚德載物，坤卦的勢，它的特徵是什麼？是 厚德載 物，你看恰恰是我們 勢能的特徵。（“ 君”是動詞，“ 支配”的意思，這裡的解釋中將“君子”的“子”理解爲“之”，是一個代詞，代指前面的“天”和“地”。編者按。）

我這麼解釋是有根據的，因爲你讀這篇《易傳》，你讀到別的地方的“君子以”的時候，也都是這個意思，你看“ 君子以經綸”，意思是說什麼？天上有云彩，打雷的時候的特徵是嚴密，密雲不雨；山崖出泉，蒙卦說的是“ 君子以果行育德”，就是說山下出泉水，它的特徵是什麼東西呢？它的特徵是儉行養德，所以說“君子以”的“君”是動詞。

我這個說法不一定對，供大家討論。所以說運動的道理，我們待會就會知道，是 動能和勢能之差，然後積分的變分要等於 0，這是歷史，這是 運動的基本道理，是所謂的天道。

西方是怎麼認識力學的？ 亞里斯多德說，mechanics 就是那些幫助我們克服困難的工藝、技藝，就是一開始你怎麼用槓桿、怎麼用滑輪這些技藝，但是這些技藝幫助我們克服了困難，當我們把這些 mechanics 裡面的道理和發現 上升到數學能表達的形式，從一開始的這些槓桿滑輪，經過拋石機這種機械，我們上升到方程或者是哈密頓-雅可比方程的時候，我們就完成了力學。

大家看我這些圖，最後一張是用的是火車，這是爲什麼？待會我們會回到這個話題。

那什麼是經典力學？經典力學很有意思， 經典力學是出現在量子力學之前。這個道理很簡單，就像現在很多家的孩子，老大叫大寶，大寶的出現一定是在老二之後，因爲什麼？是生了老二以後，老大才被稱大寶的。那麼在這裡也是一樣， 1924 年量子力學出現以後，在這之前的力學被稱爲是經典力學；1916 年廣義相對論被推廣了以後，稱爲廣義相對論，才把以前的相對論貼了一個狹義的標籤 。

那麼在量子力學出現以前，力學叫什麼？ 叫牛頓力學，叫理論力學，叫分析力學，還會有一個重要的詞叫理性力學，理性力學在中國有些書裡會這麼說，雖然表示很少，但是它非常重要。

經典的力學和量子力學有什麼關係呢？一些不太負責任的書裡都會說“量子力學是對經典力學的革命”，我負責任告訴大家，不管是愛因斯坦還是普朗克，在當初構造量子論的時候，他們的論文裡 從來沒有“革命性”的表述，或者試圖用“革命性”來表述，而且在 玻恩創造量子力學的時候，你看人家說的非常清楚： 表達一個關於量子的力學，要儘可能地如人們所願的那樣與經典的類似 。

新的量子力學要儘可能表達的和經典力學類似，而不是去鬧什麼革命。所以說 經典力學不是對量子力學的革命 ，而且重要的是，在文獻裡都會特別強調，這次是對經典力學的 Umdeutung。什麼意思？就是對經典力學的 轉譯、對它的重新詮釋、對它的提升，而不是什麼革命。所以我這裡說一個開玩笑的，如果有一個人對經典力學不屑一顧，他跟你談論大談量子力學，請你一定要順着他話說，就不要跟他爭辯。

從經典力學到統計力學、量子力學，其中沒有任何概念上的躍變，這一點是我後來認識到的。那麼大家如果覺得這個不好理解的話，我再給大家舉個例子， 動物和植物之間其實也沒有嚴謹的界限，你看這海里就有一種動物，也是植物（視頻中播放的是一隻非常可愛的 海兔，它靜止的時候就像海底的植物，但也會邁着它微小的步伐，在海底緩緩移動、覓食，果真是“靜若處子動如兔”。編者按。）

大家想想，生物和植物之間都沒有嚴格的界限，經典力學和量子力學中間哪有嚴格的界限？

剛纔提到經典力學還有一個重要的稱呼叫“ 理性力學”，比方說這是我給大家找的幾本 法文版的理性力學。

在 意大利，經典力學也更多地被稱爲理性力學。而如果大家學習意大利人寫的理性力學的話，你就會發現它 更加容易帶你走向廣義相對論。因爲愛因斯坦的廣義相對論後面的理論，更多地是由一幫子從德國慕尼黑畢業的意大利學派的人完成的。

那麼經典力學的精神到底是什麼？我把它總結出來就是“ 帶鐐銬舞蹈的藝術”，爲什麼呢？因爲我們經典力學的學問不是研究簡單的自由粒子的運動，它研究的恰恰是 在約束條件下的運動。

這一點我們一定要大家理解——就是說，我們社會上經常會給大家談論自由不是無邊界的，是要有一定約束條件的，但是 怎麼處理約束條件下的運動，這是一門科學。

因此經典力學就是這樣一門學問，我把它比作“戴鐐銬的藝術”，那麼在我們中國有一個特別具象的一門藝術，會跟你講 在有約束的條件下如何運動，而且還要發揮出最大的戰力，也就是求極值。

這樣的一個藝術呢，是我們中華武術裡面特別著名的，叫 脫銬拳，大家看它是要在被約束的條件下講究如何運動，發揮出最大效果，這是 經典力學的精髓（視頻播放的是一位武者，在雙手被束縛的情況下表演出一段非常精彩的武術。編者按）。

那麼怎麼在約束的條件下去求一個最大值？這樣最後就轉化成了一個 對積分求變分的問題，就是我們在理論力學課裡學到的著名的 歐拉-拉格朗日方程，爲此當然你要發展數學。

如果讓我去 總結經典力學的一個關鍵詞的話，那就是“虛”，這個虛出現在虛位移、虛功、虛速度、虛功函數、虛力，甚至上升到虛力學的說法。那麼“虛”字用一個特殊的希臘語字母的 來表示，那麼它大概是什麼意思？

它大概等同於數學實驗，也就是說 一個函數 ，你對它做 虛位移，實際上是產生一個 新的 函 數 ，這個暫時說不清楚，但是我想跟大家說的是，慢慢地，我們往下會多提供點信息。

我想給大家說的是,我們中文裡面會遇到兩個不同的虛，一個是我們數學的時候會遇到 虛數，解方程會遇到虛數，請大家不要用漢語的虛頭巴腦的虛去理解它。反而是當虛數被引入的時候，數學家們就一再強調 Imaginary is real，虛數纔是實的。

虛功原理一開始引進來的詞叫 virtual，但是虛功原理被引進的時候，物理學家也是一再給你強調它纔是實的，所以 What is actual？大家一定要理解， Virtual is actual!

而且碰巧的是，發展了虛數數學的，和發展了虛功原理的，是同一幫人，包括 歐拉、高斯、哈密頓，他們都是理解虛數和虛功的高人。讓大家一時理解“虛就是實”不太容易，我只是提醒大家， 不要把虛位移和實位移給弄對立了就行。那麼 表示的是虛位移，它和實位移的 d，是可以交換的，在你運算的時候這倆是可以交換的。

要理解這裡面的虛和實，我倒覺得《紅樓夢》裡面這一副對聯大概說的特別好： 假作真時真亦假，無爲有處有還無。正好是解釋這個，一個是虛位移的虛，一個是虛數的虛，不是那麼好理解，但是我提醒大家有這麼回事。

對於經典力學，我想跟大家說的是它首先是一門什麼？首先是一門 哲學，爲什麼？我們簡單地把經典力學分成 4 個層次，第一個層次就是所謂的 牛頓定理，那麼第二個層次的方程就是 歐拉-拉格朗日方程，第三個層次就是 哈密頓正則方程，第四層就是 哈密頓-雅可比方程。

首先看第一個層次，我們都知道 牛頓的第二定律說的就是因果律，你給一個力，它就帶來了一個運動的改變，就是你杵一下我就唉一聲，這就是簡單的因果律。但是到了 歐拉-拉格朗日方程的話，它就是個 經濟原理了，說的什麼？說的是這個世界上運行的東西，一定是某一個稱爲作用、稱爲 action 的東西，要 取極值，取最小值——一般說要取最小值——這就是經濟學原理了。

那麼到 哈密頓正則方程，這個時候就會告訴你，我的注意力都在 形式上了，不僅這個方程是一定要保持這個樣子，而且這個方程你給它做變化以後，最後你還得給我保持這個樣子，這時候就是一種形式即內容的哲學。

哈密頓-雅可比方程它說的是什麼？它說的是要 變換，還要 不變變換，而且是不變變換裡的某些變換才能夠有助於你提升，把學問提升到這個層次，這就是講究到了這個 形式與超越的問題。

所以說大家學經典力學的時候，當你讀到這樣一句說： 作用變量是一種非渡越不變量——你看，變量是不變量——這個時候你覺得很熟悉，而且特別容易接受，那大概經典力學你就入門了。記住， 變量是不變量！這句話不好理解，以後慢慢學它。

可能很多人沒注意到 ，經典力學，還有一個叫法：幾何力學。經典力學是一門幾何，我們看它的數學還是這 4 個層次的方程，你看 第一個層次的牛頓第二定律，它是有 微分，而且是牛頓老師專門發展出來的微積分。我們大家都知道 第二層歐拉-拉格朗日方程這就是變分，拉格朗日展示了變分學。

到 第三個層次哈密頓正則方程的時候，這時候就有 變換理論，要出現 辛幾何。至於 哈密頓-雅克比方程呢？那就會需要更多的 微分方程理論，然後還有 形式變分理論，然後還會有什麼 李羣理論等等，數學就更高了。

最酷的是經典力學，我剛纔講它本質上是經濟學，是 economics，爲什麼？因爲它講究重要的幾個原理，包括 光學的最短光程原理。我們知道有 optical mechanics， 光學和力學是一家！它們是一個學問。所以說 費馬原理，也會被改造到我們的經典力學裡的 莫珀替的最小作用原理，甚至包括 高斯的最小約束原理。

那麼說到最小作用量原理的一個忠實的執行者，不得不提這樣一種動物，叫 鳳頭雨燕。我們看鳳頭雨燕的窩，它的窩的大小隻能 讓一顆蛋勉強放進去不掉下來。也就是說它 要是把窩多做一點，都是對我們經典力學的不尊重，我覺得它對原理理解得太棒了！

今年準備經典力學是特別費勁的，爲什麼？就是經典力學的學問太多了，這裡面牽扯到的每一個名字都是如雷貫耳，我不能給大家念，但是我要特別提出，這裡面竟然有兩位是女士， 一位是沙特萊侯爵夫人 ，一位是近代的艾米·諾特小姐。

艾米·諾特小姐還被尊稱爲 近世代數之父，一個姑娘家能把數學做到了被人稱呼代數之父的程度，大家可以想象這有多厲害，最重要的是 艾米·諾特小姐大學是文科畢業。特別感慨，我們的培養課程尤其是我們女科學家培養課程裡面，我覺得要多介紹這兩位成就到抽象層次的女科學家的學問。

我負責任地說我沒有能力給大家講懂，而且我也不太相信大家在幾個小時的講座裡面就能夠學懂，但是 重要的不是說你聽一遍就學懂，而是說你要聽說過，這一點非常重要！非常高興，我覺得這個理念很多從我們物理所畢業的人都能夠接受，就是說： 我可以學不懂，但是我要知道。

這些年的講座裡面，我們一些物理所畢業的子弟，他們的二代三代，主要是二代，都能夠堅持聽我的講座。據說此刻在浙江的寧波就有我們物理所的畢業生的一對雙胞胎女兒，10歲的女兒，又在堅持聽我的講座，我非常高興，真的！我再強調一遍： 我希望我們的科學家培養計劃裡面，尤其是女科學家培養的計劃裡面多講講這兩位學問做到抽象層次的女科學家，待會我會細講她們的成就。

經典力學一些關鍵點上，也有這些大師寫的著作， 這些著作絕對比我們在大學裡學的理論力學的課本好懂得多，但前提是你要認得這些字 。但是我負責任地說， 創造這些學問的人是能夠把事情講清楚的，這也是我這些年讀書讀了幾十年，終於有一天明白的。

在你讀書的時候，如果關於某個問題的描述，你一遍一遍讀不懂，這事情不怪你，一定是寫書的那個人不懂，所以說這時候 正確的方式就是把這本書扔了，換一本。你會發現 不管是多困難的學問，世界上一定有一個 人，他是上來幾句話就能跟你說清楚的。

那麼關於 經典力學的認識問題，在我們國家的關於經典力學認識的問題上，我覺得我們 很多話是大的，比方說劉慈欣先生的《三體》裡面——我不知道這是不是三體小說裡面的原話——當我們批判這位葉哲泰教授的時候，有一句話，“ 葉哲泰，你老實交代你是不是精通各種力學？”

精通各種力學？我想說的是你要能 聽 說過各種力學都是吹牛，因爲什麼呢？各種經典力學發展到上個世紀之初的時候，你會發現冒出了 電子力學，冒出了 索末菲的超力學。1923 年、1924 年玻恩講授 原子力學，然後才悟出來說需要一門新的力學，1924 年 6 月 13 號，他的論文裡面給創造了這個新詞，叫 量子力學。

讀到一句，有某學者說“ 牛頓花了 30 年發現了萬有引力，我花了三個月搞明白了萬有引力定律”。我看到這句話的時候，我也真的十分感慨，牛頓確實是花了 30 年發現萬有引力，但是他花了三個月就搞明白了萬有引力定律，我覺得不太可信，爲什麼？因爲 在我們這個世界範圍的專業物理圈裡面，大概搞明白萬有引力的人就沒幾個人。

牛頓的這本關於他的萬有引力和運動定律的書 《 自然哲學的數學原理 》，一般人是看不懂的，所以說纔有著名的諾獎得主印度人 錢德拉塞卡，給我們寫了一本 Newton's "principle" for the common people，就是給我們普通人解釋一下牛頓的這本自然哲學原理， 這個寫給普通人的科普本，一般的物理教授也是看不懂的。所以說，大家誤以爲牛頓的萬有引力很簡單， 牛頓萬有引力可不簡單！待會我會給大家證明。

爲什麼能看出不簡單呢？我們大家想一下，爲了寫這個問題，牛頓是發展了 微積分，這本書的 " principia" 是在英文表達裡被稱爲 the book 的，前面要加定冠詞的，而牛頓發展的數學方法——微積分也是要加定冠詞 the 的。各位要考英語的學生記住了！ 這兩個前面是一定要加定冠詞 the 的，你想象一下這個學問要深到什麼程度，你三個月就搞明白了？

我想說的是 牛頓要是如我們理解的那樣淺薄的話，他就不是牛頓了。

對於 經典力學的深淺，從運動角度，從所用的數學的角度，以及從處理的問題是單體、兩體、少體、多體，還是連續體——連續體是簡單的流體、可壓縮流體，還是再另外加電荷的流體——來看， 複雜程度都是很高的。

這裡面隨便拽出哪一本，比方說就是一個稀薄流體的動力學問題，都是很難的 。在我們物理所的馬路對面就有著名的科學院的 力學研究所，而力學研究所做的某一個方向，就是 簡單的產生高速流體，那點成就就 足以支撐我們國家在某些方面能夠處於世界領先地位！所以不是那麼簡單的事情。

關於力學的認識問題，對於我們國家的力學教育，我個人覺得還是有點擔憂的，我們看 我們中學裡面的教科書或者考試題裡面，有人認爲力學是這個樣子的（ 第一張圖），那麼我們看 300 年前 意大利人的力 學是什麼樣子的（ 右邊的圖），這是 300 年前意大利的普通書裡面的，你看人家力學是什麼樣子。再看 100 年前 維也納中學裡面教的力學是什麼樣子的（ 左下的圖），大家比一下這三個圖大概就能看出差別了。

所以說我覺得不管是 學習的目的，還是 學習的境界的 問題，尤其是我們的孩子還很小的時候，我們要給孩子們講清楚學習目的和學習境界的問題了。

因爲我個人覺得， 如果學習的目的、學習的境界、對學會的標準不同的話，最終會影響你的學習效果，會影響學習人的氣質的。我特別欣賞脫口秀裡面的一段關於會不會游泳的判據，張彩玲的二姨夫的標準是：我要不能夠駕馭水，這就不算我會游泳；而張彩玲老公的標準是：水要沒淹死我，那就算我會游泳。

大家看這兩種關於游泳的判據，它的差別還是非常大的，我覺得我們還是要把學習的境界和要求提高一點，因爲這個講座非常長，我不可能把它講完，所以說我講 一頁紙的經典力學，就這一頁記住了，就算我講完了。

那麼 第一步，就是 人們觀察運動，提出的像速度、動量、虛位移、功、活力、勢等概念，然後從實用方面又是 製造機械試圖省力，然後有槓桿原理、平衡條件、虛功原理等等，這是一開始乾的事情。

那麼牛頓時代就有 牛頓的第二定律，然後有法國人的 達朗伯原理，然後由法國人 莫珀替等人提出的最小作用原理。最後有一個關於從坡上滾東西的這樣一個問題，我管它叫“ 坡問題”，就引出了 第五層次的定積分的極值問題，就引出了 歐拉-拉格朗日方程。然後英國哈密頓把它提升到 哈密頓原理，說動力學就是拉格朗日量的作用泛函的變分問題，我會給大家解釋這什麼意思。

然後第七層次就有了 哈密頓力學正則方 程。到第八層次，一個德國人雅可比進來了，有了 哈密頓-雅可比理論，有了 正則變換理論，引入 作用-角變量，這樣的話你就可以用於擾動論，去解天體問題，然後可以把它用來發展相對論的量子力學。

也就是說當你將 7、 8 兩個問題，也就是 哈密頓正則方程、哈密頓-雅可比理論很熟的時候，你 再去看量子力學、相對論，你就知道人家整天在幹什麼，人家當初原始論文在推導什麼，就能容易理解了。 所以經典力學基本上這就講完了，接下來的時間我們就是閒聊天了，就不那麼燒腦了。

萌芽態的力學

現在我纔講到我講座的 內容提要。我已經講完了 第一部分開篇詞：經典力學是什麼樣的學問。那麼現在看 萌芽時代的力學。

一開始大家看到的都是運動，有一個很重要的詞，西方人總結出來的叫“ 萬物皆流”，就萬物都是流動。所以說當初西南的某位教授提出治沙的一個做法的時候，當時我是現場評審專家，我是極力贊成的，因爲什麼？雖然他用的方法具體怎麼樣我不知道，但是他的哲學思想是對的。因爲 沙首先是“流”，治沙首先是解決流的問題，今天我們國家一定在這方面做到了，萬物皆流，有這個運動就有人去考慮運動的原因。

古希臘 亞里士多德就是說 運動是外力造成的，外面有一個驅動力，它動一下，就跟我們人上班似的，人戳你一下，你就往前動一下，不戳你，你就靜止了大概。所以古希臘是這麼認爲的，那麼怎麼理解下落？他們說 物體不同速度下落，就是尋求它的自然位置，是天生的傾向，大家看，這時候雖然有物理學的意識了，但它某種意義上說還是神學。

後來你看，一發展出物理學，把神學剔除出去以後，形而上就慢慢變成了 哲學，今天哲學中，與亞里士多德同時代的也比較齊名的，出現在同一幅油畫裡面的，有一個人叫 Strato，Strato 就不同意亞里士多德的觀點，他認爲 不需要一個主動的神來去驅動宇宙的運動，而應該是把宇宙的運行賦予自然本身，這個是一個無意識的東西，也就是說 存在自然科學這種東西，natural science。

也是 Strato 給我們造了 Physic s 這個詞，這就是我們今天的物理。而與此同時，我們中國在唐朝的時候，有一位著名的物理學家杜甫也說出了那句著名的話叫“ 物理固自然”，物理就是自然。

那麼 Strato 做出過什麼重要發言？Strato 有一個重要的發現，就是注意到從高處噴出的水或落下的水它是會斷的，而這高處落下的水斷的話，斷的雨滴之間的距離還是越來越大的。於是乎他提出了一個關於運動的分別說—— 下落是一個加速運動，而不是簡單的就叫運動，是加速運動！

在這個時代裡呢，人們需要幹活，就需要省力，就關注了兩種重要的機械 mechanics， 一個是槓桿，一個是滑輪。那麼關於槓桿就得到了槓桿的平衡條件，這是我們中國的中學教科書裡會教的，說平衡條件說就是指 點兩端的兩個力，和各自的臂長相乘 ，這就是槓桿平衡條件，我們的中學物理教科書裡是這麼教的。

我請大家注意，如果是僅僅停留在這一步，淺薄太多了，槓桿原理內容多是因爲什麼？ 平衡是脆弱的！或者說僅僅在一個極端條件纔有平衡，你帶着孩子到遊樂場去玩蹺蹺板的時候，整體狀態是不平衡纔對，對吧？平衡只是一個微妙的狀態。

當然了，也不要小瞧平衡，僅僅維持一個槓桿的平衡，也就是我們的 桿秤，這裡面的科學寫一本書都夠。當年我們中科院的公開課裡面，我有一個專門講座就講桿秤，而且我把題目叫做 《 物理學從不淺薄 》。關於槓桿平衡，你寫一本書都用不完。

阿基米德除了發現浮力原理以外，他還發現了槓桿的威力，還證明了槓桿定律，使用過重心的概念 。我們先看他發現的槓桿的威力是什麼，我正好找到一個小視頻，看看槓桿的威力在哪裡（視頻中是一個人拿着一根長杆，將杆靠在護欄上，鬆手之後杆的上端朝外邊落下，內側一端雖然力臂很短但是由於有速度，將人掀了下去。編者按）。

槓桿威力在哪裡？ 槓桿威力不在臂長是什麼，而是速度，那端運動的速度，所以槓桿原理會引入 虛速度的概念，那個地方很重要。

那麼我們看阿基米德是 怎麼證明槓杆定律的，特別聰明！他是這麼證明的：假如說一個均勻槓桿長度是 的話，那麼你在 中間支着它肯定平衡的，沒問題吧？

好，現在我假設在 中間的地方，我把它分開了，分成兩段了，那麼你在它們 各自的中段加上一個支撐點，它們各自是平衡的，沒問題吧？

那麼好，這就相當於各自的重量放到各自的支撐點，說明在支撐點上，如果杆是沒重量的話， 在那兩個支撐點放上它們相應重量的東西的話，在原來那個點上是平衡的，於是乎就得出條件， ，這就是 槓桿原理！

你看這個證明是非常聰明的，我覺得無論如何要加到我們中學的物理課本里，特別聰明。

另外一個機械就是 滑輪，那麼我們的重點課本里面是怎樣教滑輪的？

用滑輪去吊過東西的時候，重要的是你拉重物那一刻，拉住了那不算本事， 拉不住纔是問題，纔是要研究的科學問題。

也就是說，去拉繩子的時候，你拽着它不讓它走，但是你感覺到繩子好像要往上走、要跑，這個地方就可以引入 虛位移的概念。而虛位移，請大家記住， 它還是實打實的東西，因爲你手稍不注意繩子呲溜就躥上去了。

所以說當我們研究槓桿和滑輪的平衡的時候，請大家記住 平衡是脆弱 的，是一個極罕見出現的事件，是一個可以用數學方法表示爲零概率零測度的構型， 不平衡纔是常態。

因此你需要的研究是 趨勢，是一個力學的形態，“它接下來要發什麼”這個趨勢纔是你要研究的對象，這就是所謂的虛位移。古人說的“ 引而不發，躍如也”大概能表示這種狀態，即拉弓的時候很吃勁，但手又沒鬆那個狀態，可能和虛位移有關係。

那麼我們再看阿基米德的成果， 一個是漂浮，一個是槓桿。漂浮的平衡條件是浮力等於重力。槓桿的平衡條件是兩側力乘上力臂後數值相等。我們可以發現，平衡條件等號兩邊的物理量，第一個等式和第二個等式是不一樣的。 這兩個情形都是平衡，但是卻不在同一個平面、一個層次上。這樣一來，我們更應該追問平衡到底是什麼意思。

平衡不是不運動 。對於一個有很多質點組成的體系， 平衡是外力之和等於零，外力加的力矩等於 零，能勻速運動或者在體系內勻速的轉動。

荷蘭人斯臺文給我們大家區分了什麼叫 穩定平衡、非穩定平衡、中性平衡。穩定平衡指假設存在虛位移或者發生偏移後，系統能夠自己回到原來的位置。非穩定平衡指先發生一個小的位移，這個位移逐漸變大，導致系統離開了原來的位置。中性平衡指撥動系統多遠，系統就挪開多遠，並且在新的位置保持不動。

經濟學裡面還有一個需要理解的概念，經常作爲關鍵題出現在各種力學書裡： 三 個力如果平衡，這三個力就構成三角形的三邊；三個力加起來等於零即三個力矢量相加等於零。最終表示成用這 三個力的矢量作三邊的三角形。

不知道大家對這個概念是什麼感覺，但我最開始接觸它的時候感覺怪怪的，有幾個地方不理解，又說不出來怎麼不理解。直到我讀了 Hermann Grassmann 構造矢量與“線的代數”的過程，我才知道力的矢量和位移的矢量是有定義的： 矢量 AB 等於點 A 減點 B。

理解了矢量的定義後，我們來看一下 位置對時間的微分等於速度矢量這個等式。等式右邊是速度矢量，但左邊的矢量是從哪裡來的？答案是：矢量從 dx 來。dx 是矢量，x 不是矢量，dx，也就是說位移，是矢量，是兩點之差。

從此之後，我們的力學就到了近代。 意大利的伽利略是近代科學奠基人。他觀察教堂裡面吊燈的擺動，發現擺動是週期性的；同時燈油越燒越少、擺錘的質量越來越小但週期不變，說明質量不影響週期。於是他得出第一個定理： 單擺的週期和擺錘重量無關。

燈油燒乾後我們需要要往裡添油，需要把燈從很高的地方一點往下放，放到地上再去添油，這個過程正是單擺的擺繩越來越長的過程。他發現 似乎 擺繩越長，擺動週期就越長。週期和擺長到底是什麼關係呢？成正比？不像。週期平方和擺長成正比？差不多。於是他得到了第一個物理公式： 週期和擺長的平方根成正比。有了這個公式，人類就開始造鐘錶和計時器。

伽利略還研究什麼？他研究 運動的起源問題。

他在用木頭做的坡上放置小球，球會從一個坡滾到對面坡上。他發現如果在木頭上面打蠟，使木頭小坡足夠光滑，小球從這邊滾下去會停在對面相同的高度；如果把這個坡做得再平緩一點，小球滾動時間變長，並且還是滾到和原來相同的高度。

如果我們假設存在極限情況使坡的坡度等於零，這樣以來小球爲了達到和原來相同的高度會一直向前滾動，但是 不管怎麼往前運動，它的高度一點也不增加。就像我們現在在社會上做牛馬似的，不管我們怎麼努力提升自己，結果都是再做無用功。小球也一樣，只能永遠運動下去。

伽利略把這個叫做慣性運動：沒有外力阻撓的時候，一個物體會一直地運動下去。

伽利略還發現了 運動的相對論。簡單說就是，在一個勻速運動的體系裡，比方說在水上漂的大船，它裡面發生的力學現象和地面上發生的力學現象是一樣的，是不受影響的。船上頂上水滴還是直直的掉到底下那個碗裡面，小魚缸裡面的幾條魚還是和岸上一遊的一樣歡快，也沒有一個前後方向的分別，這就是伽利略的相對論。

但是伽利略最重要的一個工作是他得到了 落體定律，他的實驗裝置就是右上角這個木質的斜坡。他讓一個小球往下滾，沿着斜坡掛着不同的小鈴鐺，球往下滾的同時碰到鈴鐺就“叮鈴”響一聲。

他調整鈴鐺的位置，使得小球滾下來的時候 發出的響聲的時間間隔相等，再去量每一段路程兩個鈴鐺的距離，發現每兩個鈴鐺之間的距離比例是1:3:5:7。如果從頂端算起，每一個鈴鐺距離頂端的距離比例就是 1:4:9:16:25，也就是說 下落高度是和時間平方成正比的 。

這個公式最重要的地方是什麼？是 這個公式和小球的重量沒關係。無論使用什麼樣的小球滾下來，它的 下落高度都和時間平方成正比，和小球的重量沒關係。這裡我還要強調一點的是：伽利略得到這個公式，實驗設計和測量方法都很粗糙，但是這些都不重要，如果是照現在像某些人一樣精確地用計算機擬合，就把物理定律給擬合跑了。所以說 物理測量也不是越精確越好。

通過這種方式 伽利略認識到了不同重量的物體，從高處放下去之後會同時降 落，傳說他還在比薩斜塔把兩個物體放下去，通過實驗證明的方法讓大家看到、兩個物體是同步下落的，讓大家都信服了。但實際上非常抱歉的是 實驗沒有辦法證明兩個不同重量的東西是同時下落的，因爲你永遠說不清楚什麼叫同時下落。

那麼伽利略是怎麼證明兩個物體是同時下落的呢？

他發明了一個叫做 thermoscope 的實驗裝置，是一個沒有標註的溫度儀，有標註就叫溫度計。更仔細的來講，就是玻璃管裡面放了一些混合的液體和不同比重的、像泡泡一樣的小球。 當溫度改變的時候，液體的密度發生變化，升溫的時候密度變小，原先有些漂浮的泡泡就能掉下去；天冷了，原先掉下去的泡泡又重新浮起來。根據泡泡的漂浮情況，能大概判斷天冷了還是天熱了。 這樣一個裝置是如何證明不同重量的物體下落是同步的呢？

我們給定一種密度的液體，有些泡泡飄着，有些泡泡很快沉底。如果我們減小液體密度，原先漂浮的泡泡下沉追趕先一步下沉的泡泡；再減小液體密度，又有一批新的泡泡下沉追趕剛纔下沉的泡泡。如果我們假設 存在某種極限情況，玻璃管內沒有介質，那麼原先由於液體阻擋而導致泡泡下落快慢差異的因素消失 。造成差異的因素消失後，結局就是 所有泡泡同步下落，這就證明了不同重量的物體下落是同步的。

但現如今仍然有很多人死腦筋，做各種實驗證明這個結論，比方說用高速攝影拍兩個液滴確認這兩個液滴是不是同步下落的。那麼這兩個液滴算不算同步下落？ 實際上是它啓發我們傾向於去認爲液滴是同步下落的，但是你永遠不能證實這一點 。

所以我特別想說的是： 真正的實驗一定是思想性的，是帶思想性的實驗。最有效的實驗室是扛在我們人類肩膀上叫做腦袋的東西 。

我們來看一下伽利略自己在 《論運動 》這本書裡面是怎麼證明不同重量的物體是同步下落的。他假設有一重一輕兩塊物體， 假設重的東西下落得快，輕的東西下落得慢，這就是原來亞里士多德的理論。現在假設把這兩塊物體粘一起，它就比原來這兩個物體都重，按剛纔的邏輯它應該 下落得最快。

可是大家仔細想一下，原來兩個物體一個下降得快一個下降得慢，粘在一起後卻下降得更快了，這 不符合邏輯是不是？就像我們都知道大人走路快，小孩走路慢，早晨去送小孩去幼兒園，牽着小孩一起走路卻比自己一個人走得還快，這不符合常識。所以亞里士多德的理論是錯的， 重的東西和輕的東西同步下落，兩者粘在一起後仍然同步下落，這樣纔沒有邏輯矛盾，這個才叫做實驗 。

簡單的下落也會引出很多學問， 由垂直下落我們總結出了機械能守恆，這些我稍後再細講。關於 平拋運動，你會發現它 是自由下落加上平拋的慣性運動的矢量之和。如果還有空氣阻力的話，還要計算上空氣阻力。

從一點拋出一個東西，如何落到你想落到的這個點，都會發展出專門的一門學問，這門學問叫 彈道學。大家也知道我們的解放軍裡是有專門的炮兵學校，其中彈道學是非常重要的一門學科。

說完地上的運動，我們現在看 天上的運動，天上的運動，天上有一批流浪者 Planet ，我們管它叫行星。

一開始我們覺得行星軌道都是圓形的，是完美的圓形 ，後來發現不是那麼完美 。托勒密就用圓上摞動圓的方式加以修改，這就是天文學裡面的均輪-本輪體系。大家都知道，行星在天上運動沒有留下實際的痕跡，我們關於行星運動軌跡的數據誤差是很大的。因此 有人就猜測軌道也許是和雞蛋相似的卵形線，但是那個時候沒有人給出卵形線的方程。

在1609年 Kepler 指出行星軌道可能是 橢圓。兩百年後 14 歲的 Maxwell 第一次寫出了 卵形線方程。說一句題外話， 幸虧 200 年以後纔有卵心線方程，如果 200 年前就有卵形線方程，用卵形線去研究行星運動的話，行星軌道可能研究不出來了。

我們研究天上的運動的 參照點是哪兒？參照點一定是我們腳下。在地球上我們看到 火星的軌跡就是這個圖裡這個樣子，這麼複雜圖，讓你寫出它的方程，大家想怎麼可能呢？

這時候我們就發現我們還有關於太陽的軌道數據，雖然不可以嚴格相減，但你湊合一下把火星的軌道數據減去太陽軌道的數據，就相當於 把參照點從腳下挪到太陽上，就會發現這幾個行星的軌道是簡單的閉合軌道，就有點像我們操場上的跑道了，一下子就簡單多了。

雖然是很簡單的一個步驟，但給我們帶來了一個很重要的思想： 樸素的相對論思想 。什麼意思？簡單來說就是運動不會因爲你參照點變了它就變了，但是運動的樣子又確實因爲你的參照點變了它 就變了。

所以我希望大家能理解這裡面的道理：同一個人，你從不同觀點角度去觀察他也是不一樣的；但是他還是這同一個人，他應該有不變的地方。所以這就引入了一個重要的科學研究方法： 變換。關於什麼是變換我們之後再討論，重要的是我們要 學會用變換的方式去研究科學問題。

到此爲止關於天上行星運動就有了 日心說，以太陽爲中心。早先是 地心說，以地球爲中心。傳說布魯諾伽利略等等努力維護日心說，最後日心說戰勝了地心說，但實際上事情不是那麼簡單的。

伽利略不是證明了日心說，伽利略自己用望遠鏡觀測到木星有4個環繞木星的衛星。雖然月亮是繞我們地球轉的，我們覺得行星是繞太陽轉的，可是木星有4個小傢伙，它是繞着木星轉的，也就是說宇宙裡好像哪裡都存在中心。 所以說在伽利略的時代，重要的不是日心說戰勝了地心說，而是是中心說的消 解。換句話說宇宙沒有特定的中心，很多地方對於當地發生的情況都是中心。

看到這一點我就特別總結了一 句：我立足處就是宇宙的原點，你立足的地方也是宇宙的原點，我尊重我立足的地方是宇宙的原點，也要要尊重在別人眼裡人家立足處也是宇宙的原點。 不是宇宙中心說，不是地方中心說，而是無中心說。但是這個無中心說最終也還是要引出了中心，也就是說當我們描述世界的時候， 參照點這個事情還是一直在的，不能忽略。

在伽利略的時代，波蘭人 哥白尼就總結出了行星三定律：行星的軌道就是圓上摞 圓，是均輪-本輪的理論； 太陽大約在各種軌道的中心，即日心說； 行星在主軌道上也就是均輪之上，速度應該是個常數。 這是 哥白尼的行星運動三定律 。

到了開普勒時代，根據丹麥人第谷的更加精確的數據，他總結出了開普勒的行星運動三定律： 行星軌道是以太陽爲焦點之一的橢圓；行星到太陽的連線，單位時間掃過的面積在天上掃過的面積是相等的；軌道週期的平方和軌道的大小或者叫長軸或者長半軸的三次方之比是恆定的。這就是書裡說的 開普勒的行星三定律。

如果我們細究一下，就會發現這裡面 有很多的問題。首先我們得知道這些內容闡述在哪裡。

開普勒給我們留下一個一本非常有名的書，叫 《 Harmonices Mundi 》，一般翻譯成 《 宇宙的和諧 》，但翻譯可能理解錯了，這本書實際講的是 宇宙是怎麼組裝的。這個插圖用各種多邊形的互相囊括，來闡述不同信息的軌道是如何互相包容的，以此談論天空上的宇宙是怎麼組裝的問題。

當然這和和諧是有關係的。音樂合奏也是和諧的一種，把不同的聲音湊到一起組裝的挺好，讓你很舒服。所以說 當我們用和諧這個詞去翻譯 harmony 的時候，請大家記一定不要忘了組裝的意思 。

因爲在我們學的物理裡面，大部分談論的都是組裝。除了剛纔說的學的宇宙怎麼組裝的， 固體物理學簡諧振子也是組裝。你找到一個方向，這個方向不同原子組裝成一個單一頻率振動的框構架，這個叫單諧振動。還有 量子力學數理方程的球諧函數。我每次聽人說起球諧函數，我都想起來穿球鞋。

實際上 球諧的含義是這樣：一套函數你用幾個湊一起就安裝出一個球對稱的分佈，再用幾個又安裝一套球對稱的分佈，你就能夠理解原子外面電子的球殼模型，因爲每一個殼層用的球形函數，那幾個函數加起來就能夠得出了一個球面對稱的分佈。所以說我們理解這個詞以後，理解問題就容易多了。

發現這樣偉大的新型三定律，開普勒心情是什麼樣子的呢？我們現在很多同學覺得最高興的事就是能發一篇 Nature、發一篇 Science，但開普勒是怎麼表達自己發現三定律的心情呢？ 他說：我勝過你們人類 。