爲什麼要講方程？走進不一樣的數學

方程是數學、科學和技術的命脈。

方程也是出了名地嚇人。斯蒂芬·霍金的出版商告訴他，《時間簡史》裡每增加一個方程，圖書銷量就減半一次，E = mc2——這個方程砍掉，《時間簡史》能再多賣1000 萬本。

但在小學生的作業本上，一排排的等號等待着孩子們的思考，這些等號都是曾經幫助過我們的燭火。

在科學論文裡，每一個等號都勇敢地把整個人類文明向前推動了一小步，這些等號是當下正在幫助我們的微光。

在《改變世界的17個方程》這本書裡，作者伊恩·斯圖爾特帶着我們回憶了人類歷史上最重要的17個等號。有些等號建立了數量和空間的基本關係，有些等號教會我們用更多的維度看待世界的變化，有些等號指示給我們通往未來生活的路徑。17個等號，就是人類一路走來的17個地標、17座豐碑和17盞燈。

《改變世界的17個方程》

[英] 伊恩•斯圖爾特

譯者：勞佳

“直角三角形中，兩條直角邊長度的平方之和，等於斜邊長度的平方。a2+b2=c2 ”

這是連小學生都知道的勾股定律，又叫畢達哥拉斯定理。

它告訴我們什麼？

直角三角形的三個邊之間有什麼關係。

它爲什麼重要？

提供了幾何和代數之間的重要聯繫，使我們能夠根據座標計算距離。它也催生出了三角學。

它帶來了什麼？

測繪、導航，以及較近代出現的狹義和廣義相對論——現有最好的關於空間、時間和重力的理論。

1

河馬上的婆娘

在公元前 570 年左右，畢達哥拉斯出生在愛琴海東部的希臘薩摩斯島。他是一位哲學家和幾何學家。我們對他的生活所知甚少，而且信息都來自很久之後的記述，其歷史準確性存疑，但關鍵事件很可能是對的。公元前 530 年左右，他搬到古希臘殖民地克羅頓（今意大利）。他在那裡創立了一個哲學宗教團體——“畢達哥拉斯學派”，他們相信宇宙是基於數字的。時至今日，其創始人的名聲就來自以他的名字命名的定理。

關於畢達哥拉斯定理有一個非常流行的笑話，是一個關於“河馬上的婆娘”（squaw on the hippopotamus）的糟糕的“諧音梗”。這個笑話在網上隨處可見，但是真正的源頭就不太可考了。還有關於畢達哥拉斯的漫畫、T恤和希臘郵票

儘管說了這麼多，我們並不知道畢達哥拉斯是否真的證明了他的定理。事實上，我們根本不知道這是否是他的定理。它完全有可能是畢達哥拉斯的一個僕從，或某個古巴比倫或蘇美爾的抄寫員發現的。但人們把它歸功於畢達哥拉斯，他的名字就流傳下來了。無論其起源如何，這個定理和它的結果對人類歷史產生了巨大的影響。它們的的確確拓展了我們的世界。

2

直角三角形：三角學宇宙的起源

我們在現實生活中遇到的許多三角形都不是直角三角形，因此方程的直接應用似乎有限。但是，任何三角形都可以分割成兩個直角三角形，而任何多邊形都可以分割成若干三角形。因此，直角三角形是關鍵：它們證明了三角形的形狀與其邊的長度之間存在有用的關係。從這一見解中發展出來的學科是三角學——“三角形的測量”。

直角三角形是三角學的基礎，特別是它決定了基本的三角函數：正弦、餘弦和正切。這些名稱源於阿拉伯語，而這些函數及其許多前輩的發展史，展示了今天這個版本經歷了什麼樣的複雜路徑。

直角三角形裡當然有一個直角，但另外兩個角是任意的，只要加起來是 90° 就行了。任何角都有三個相關的函數——函數就是用於計算相關數字的規則。對於角A，

按常規用a、b、c代表三個邊的邊長，我們定義正弦（sin）、餘弦（cos）和正切（tan）如下：

這些量僅取決於角 A，因爲給定角 A 的所有直角三角形除了縮放大小不同之外，都是一回事。

因此，我們可以爲一系列角度繪製sin、cos和tan值的表格，然後用它們來計算直角三角形的特徵。一個可以追溯到遠古時代的典型應用，是僅使用在地面上進行的測量來計算高柱的高度。假設從 100 米開外測量，到柱頂的角度是 22°。令圖 1.5 中的角 A = 22°，那麼 a 就是柱的高度。然後，正切函數的定義告訴我們

所以

由於 tan 22° 是 0:404（保留小數點後三位），我們就可以得出 a=40:4 米。

一旦有了三角函數，就可以直接將畢達哥拉斯方程擴展到非直角三角形。圖 1.6 展示了一個有角度 C 且邊長分別爲 a、b、c 的三角形。將三角形分成兩個直角三角形。然後應用兩次畢達哥拉斯方程和一些代數 4，就可證明

這和畢達哥拉斯方程很相似，除了多出來一項，這個“餘弦定理”與畢達哥拉斯方程的作用是一樣的，建立了 c 與 a 和 b 之間的聯繫，但現在必須給出關於角 C 的信息。

餘弦定理是三角學的主要支柱之一。如果我們知道三角形的兩邊和它們之間的夾角，就可以計算出第三邊。然後再用類似的方程解出剩下的角度。所有這些方程最終都可以追溯到直角三角形。

3

用三角學計算出地球的大小

測繪學的騰飛是在 1533 年， 當時的荷蘭地圖製作師赫馬 ·弗裡修斯（Gemma Frisius） 在 《地點描述小冊》（Libellus de LocorumDescribendorum Ratione）中解釋瞭如何使用三角學來獲得準確的地圖。 關於這種方法的消息傳遍了整個歐洲，也傳進了丹麥貴族和天文學家第谷·布拉赫（Tycho Brahe）的耳朵裡。 1579 年，第谷用它繪製了其天文臺所在的文島的精確地圖。

到 1615 年，荷蘭數學家維勒布羅德·斯內利厄斯（Willebrord Snellius，本名維勒布羅德·斯奈爾·範羅恩）將這種方法發展成了現代形式：三角測量法。這種方法用三角形網絡測繪區域。通過非常仔細地測量一個初始長度和許多角度，可以計算出三角形頂點的位置，並由此計算出三角形中所有有趣的特徵。

斯內利厄斯使用一個由 33 個三角形構成的網絡，計算出了兩個荷蘭城鎮阿爾克馬爾和貝亨奧普佐姆之間的距離。他之所以選擇這兩個城鎮，是因爲它們位於同一條經線上，並且恰好相隔一度。知道了它們之間的距離，他就可以計算出地球的大小。他於 1617 年把這個結果寫在了他的《荷蘭埃拉託斯特尼》（Eratosthenes Batavus）一書中。他的結果精確到了 4% 以內。他還修改了三角學方程，以反映地球表面的球形特性，這是邁向有效導航的重要一步。

作者：伊恩•斯圖爾特

譯者：勞佳

英國數學科普名家伊恩•斯圖爾特經典名作，譯爲多國語言

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